Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，sinx-2cosx），0＜x＜

π

2

．
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求x；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=

a

•

b

，
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）經(jīng)過(guò)怎樣的平移才能使所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)？

Answer 1

分析：（I）利用向量共線定理及其倍角公式，三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（II）利用數(shù)量積、兩角和差的正弦公式、單調(diào)性、圖象的變換即可得出．

解答：解：（I）∵

a

∥

b

，∴sinx（sinx-2cosx）-cos²x=0，sin²x-2sinxcosx-cos²x=0，
∴-cos2x-sin2x=0，∴tan2x=-1．
又∵0＜x＜

π

2

，∴0＜2x＜π，∴2x=

3π

4

，
∴x=

3π

8

．
（II）f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+cosx（sinx-2cosx）=sin2x-2cos²x
=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1，
（1）令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

2

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得，-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，
又0＜x＜

π

2

，∴0＜x≤

3π

8

，即（0，

3π

8

是f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向上平移1個(gè)單位，再向左平移

π

8

個(gè)單位，即得函數(shù)g（x）=

2

sin2x的圖象，而g（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量共線定理及其倍角公式，三角函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積、兩角和差的正弦公式、單調(diào)性、圖象的變換是解題的關(guān)鍵．