Question

已知拋物線方程為y²=2px（p＞0）．
（1）若點在拋物線上，求拋物線的焦點F的坐標和準線l的方程；
（2）在（1）的條件下，若過焦點F且傾斜角為60°的直線m交拋物線于A、B兩點，點M在拋物線的準線l上，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，求證：k_MA、k_MF、k_MB成等差數列；
（3）對（2）中的結論加以推廣，使得（2）中的結論成為推廣后命題的特例，請寫出推廣命題，并給予證明．
說明：第（3）題將根據結論的一般性程度給予不同的評分．

Answer 1

【答案】分析：（1）由在拋物線上，得p=2，由此能導出拋物線的焦點F的坐標和準線l的方程．
（2）拋物線的方程為y²=4x，過焦點F（1，0）且傾斜角為60°的直線m的方程為，由可得3x²-10x+3=0，解得點A、B的坐標為，，由此能導出k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．
（3）①推廣命題：若拋物線的方程為y²=4x，過焦點F的直線m交拋物線于A、B兩點，M為拋物線準線上的一點，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，則k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．再由拋物線的性質和韋達定理進行證明．
②推廣命題：若拋物線的方程為y²=2px（p＞0），過焦點F的直線m交拋物線于A、B兩點，M為拋物線準線上的一點，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，則k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．再由拋物線的性質結合分類討論思想進行證明．
解答：解：（1）∵在拋物線上，由得p=2
∴拋物線的焦點坐標為F（1，0），
準線l的方程為x=-1
（2）證明：∵拋物線的方程為y²=4x，過焦點F（1，0）且傾斜角為60°的直線m的方程為
由可得3x²-10x+3=0
解得點A、B的坐標為，
∵拋物線的準線方程為x=-1，設點M的坐標為M（-1，t），
則，，，
由
知k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．
（3）本小題可根考生不同的答題情況給予評分
①推廣命題：若拋物線的方程為y²=4x，過焦點F的直線m交拋物線于A、B兩點，M為拋物線準線上的一點，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，則k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．
證明：
拋物線y²=4x的焦點坐標為F（1，0），當直線l₁平行于y軸時，
由（2）知命題成立．
設M點坐標為M（-1，t）
當直線m不平行于y軸時，設m的方程為y=k（x-1），其與拋物線的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則有，
由得ky²-4y-4k=0，即y₁y₂=-4，=，∴k_MA+k_MB=2k_MF，即k_MA、k_MF、k_MB成等差數列
②推廣命題：若拋物線的方程為y²=2px（p＞0），過焦點F的直線m交拋物線于A、B兩點，M為拋物線準線上的一點，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，則k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．
證明：拋物線的焦點F的坐標為，準線方程為，設M點坐標為
設m與拋物線的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則有，
（ⅰ）當直線m平行于y軸時，直線m的方程為，
此時有，∴y₁y₂=-p²
（ⅱ）當直線m不平行于y軸時，直線m的方程可設為
由得∴y₁y₂=-p²，=，
∴k_MA+k_MB=2k_MF，即k_MA、k_MF、k_MB成等差數列
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．