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已知O為A,B,C三點所在直線外一點,且
OA
OB
OC
.數列{an},{bn}滿足a1=2,b1=1,且
anan-1bn-1+1
bnan-1bn-1+1
(n≥2).
(Ⅰ)求λ+μ;
(Ⅱ)令cn=an+bn,求數列{cn}的通項公式;
(III)當λ-μ=
1
2
時,求數列{an}的通項公式.
分析:(I)首先由A,B,C三點共線,可設
AB
=m
BC
AB
=
OB
-
OA
=m
BC
=m(
OC
-
OB
)
,經化簡得
OA
=(m+1)
OB
-m
OC
,即可知λ=m+1,μ=-m,進而得λ+μ=1
(II)首先根據已知及λ+μ=1可求出an+bn=(λ+μ)(an-1+bn-1)+2=an-1+bn-1+2,(n≥2),則cn=cn-1+2(n≥2),即可求得數列{cn}的通項公式為cn=2n+1.
(III)首先由已知條件知要想求出an,得先求出an-bn=(λ-μ)(an-1-bn-1)=
1
2
(an-1-bn-1),(n≥2)
,再設令dn=an-bn,則dn=
1
2
dn-1(n≥2)
,即可求出{dn}是首項為a1-b1=1,公比為
1
2
的等比數列,則通項公式為dn=
1
2n-1
,由方程組
an+bn=2n+1
an-bn=
1
2n-1
,進而可求出an=
1
2n
+n+
1
2
解答:解:(I)A,B,C三點共線,設
AB
=m
BC

AB
=
OB
-
OA
=m
BC
=m(
OC
-
OB
)
,(2分)
化簡得:
OA
=(m+1)
OB
-m
OC
,所以λ=m+1,μ=-m,
所以λ+μ=1.(4分)
(II)由題設得
an+bn=(λ+μ)(an-1+bn-1)+2=an-1+bn-1+2,(n≥2)(6分)
即cn=cn-1+2(n≥2),∴{cn}是首項為a1+b1=3,
公差為2的等差數列,通項公式為cn=2n+1(18分)
(III)由題設得
an-bn=(λ-μ)(an-1-bn-1)=
1
2
(an-1-bn-1),(n≥2)
,(10分)
令dn=an-bn,則dn=
1
2
dn-1(n≥2)

所以{dn}是首項為a1-b1=1,公比為
1
2
的等比數列,
通項公式為dn=
1
2n-1
.(12分)
an+bn=2n+1
an-bn=
1
2n-1

解得an=
1
2n
+n+
1
2
.(14分)
點評:本題主要利用三點共線的性質、數列的推導方法及數列的疊加進行相關的運算.
練習冊系列答案
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(n≥2).
(Ⅰ)求λ+μ;
(Ⅱ)令cn=an+bn,求數列{cn}的通項公式;
(III)當λ-μ=
1
2
時,求數列{an}的通項公式.

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(Ⅰ)求λ+μ;
(Ⅱ)令cn=an+bn,求數列{cn}的通項公式;
(III)當時,求數列{an}的通項公式.

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(III)當時,求數列{an}的通項公式.

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(Ⅰ)求λ+μ;
(Ⅱ)令cn=an+bn,求數列{cn}的通項公式;
(III)當時,求數列{an}的通項公式.

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