Question

【題目】管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具，現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個(gè)如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小，）.

（1）請用角表示清潔棒的長；

（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）過作的垂線，垂足為，易得，進(jìn)一步可得；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.

（1）如圖，過作的垂線，垂足為，在直角中，，

，所以，同理，

.

（2）設(shè)，

則，

令，則，即.

設(shè)，且，則

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，又，

所以，又，

所以，所以，

所以，

所以能通過此鋼管的鐵棒最大長度為.