Question

（本題滿分15分）設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足”

   （I）證明：函數(shù)是集合M中的元素；

   （II）證明：函數(shù)具有下面的性質(zhì)：對(duì)于任意，都存在，使得等式成立。 

（III）若集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。試用這一性質(zhì)證明：對(duì)集合M中的任一元素，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

Answer 1

(Ⅰ)  見(jiàn)解析  (Ⅱ) 見(jiàn)解析  （Ⅲ）見(jiàn)解析

解析:

（I）證明：因?yàn)?img width=439 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/145/238145.gif">，又因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，，所以方程有實(shí)數(shù)根0。

    所以函數(shù)是集合M中的元素。        ………………4分

  （II）證明：，

[m，n] 。

又，。

也就是；

………………9分

（III）假設(shè)方程f（x）-x=0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)

        使得等式成立。

        因?yàn)?img width=289 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/162/238162.gif">

        與已知矛盾，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。……15分