Question

已知函數f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0．
（1）若函數f（x）是偶函數，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數f（x）在區間[-1，3]上的最大值和最小值；
（3）要使函數f（x）在區間[-1，3]上單調遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數為偶函數，則有f（-x）=f（x）恒成立，再用待定系數法求解．
（2）由（1）易知其對稱軸和開口方向，明確其單調性，再求函數最值．
（3）先用配方法將函數變形，求出其對稱軸，由“在區間[-1，3]上單調遞增”則有，再求解即可．
解答：解：（1）∵函數為偶函數，
∴f（-x）=f（x），x∈R恒成立，
即：x²-bx+c=x²+bx+c
∴b=0
又∵f（1）=0．
∴c=-1
∴f（x）=x²-1；
（2）由（1）易知其對稱軸為：x=0
∴當x=0時，?f（x）_min=-1，?
當x=3時，f（x）_max=8；
（3）∵函數f（x）在區間[-1，3]上單調遞增
∴，
∴b≥2
即b≥2時，f（x）在區間[-1，3]上是遞增的．
點評：本題主要考查二次函數解析式，單調性與最值的求法，明確對稱軸和開口方向是解題的關鍵．