Question

已知A是拋物線上的動點，B、C兩點分別在x軸的正、負半軸上，圓M：x²+（y-2）²=4內切于△ABC，切點分別為T₁，T₂和原點O，設BC=m，AT₁=n．
（Ⅰ）證明：為定值．
（Ⅱ）已知點A在第一象限，且當△ABC周長最小時，試求△ABC的外接圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設A（x，y），則，所以，由此能證明為定值．
（Ⅱ）周長l=2（m+n）．由，知m+n≥16，l≥32，取最小值時，m=n=8，點A．
設點B的橫坐標為x，則直線AB的方程為l：，點M到l的距離，由此及彼能得到所求的方程．
解答：（本小題滿分16分）
解：（Ⅰ）設A（x，y），則，
∴，∴．
（Ⅱ）周長l=2（m+n）．
∵，∴m+n≥16，∴l≥32，
取最小值時，m=n=8，點A的坐標為．
設點B的橫坐標為x，則直線AB的方程為l：，
即．
點M到l的距離，整理得．
故可設所求圓方程為：，將點代入得E=-15，
∴所求的方程為：．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．