Question

已知數列，其中，且

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求證：對任意，．

Answer 1

（Ⅰ）解：=6

n=1時，=1，解得=1

（Ⅱ）證明：①n=1，2時，由上可知，=n（2n－1）成立

②假設n=k（k2，kN⁺）時，a_k=k（2k－1）成立

則對n=k+1，由=k可得：

=k（）

（k－1）=（k+1） －（k+1）

=（k+1）（－1）

=（k+1）（2k²－k－1）

=（k+1）（k－1）（2k+1）

k2

=（k+1）[2（k+1）－1）]

n=k+1時成立

由①②得，a_n=n（2n－1）對nN⁺成立。