Question

已知函數在處的切線斜率為零．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求證：在定義域內恒成立；
(Ⅲ) 若函數有最小值，且，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）證明：見解析；(Ⅲ) ．

(I)根據求出x0和b的值.
(II)利用導數研究出f(x)的最小值，證明f(x)的最小值不小于零即可.
（III）先求出,然后分、和三種情況求其最小值m，根據m>2e,求出a的取值范圍.
（Ⅰ）解：.
由題意有即，解得或（舍去）．
得即，解得．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，
．在區間上，有；在區間上，有．      故在單調遞減，在單調遞增，
于是函數在上的最小值是．
故當時，有恒成立．
(Ⅲ)解：．
當時，則，當且僅當時等號成立，故的最小值，符合題意；
當時，函數在區間上是增函數，不存在最小值，不合題意；
當時，函數在區間上是增函數，不存在最小值，不合題意．綜上，實數的取值范圍．