Question

在△ABC中，三內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，設向量

m

=（b，c-2a），

n

=（cosC，cosB），且

m

⊥

n

（1） 求角B的大小；
（2） 已知a+c=5，b=

7

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由向量垂直滿足的關系得到兩向量的數量積為0，列出關系式，利用兩角和的正弦函數公式及誘導公式化簡，根據sinA不為0，得到cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由余弦定理表示出b²，變形后把b和a+c的值代入即可求出ac的值，然后利用面積公式，由ac的值和sinB的值即可求出△ABC的面積．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，即bcosC+（c-2a）cosB=0，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：sinBcosC+sinCcosB-2sinAcosB=0，
sin（B+C）-2sinAcosB=0，sinA-2sinAcosB=0，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

；
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即7=a²+c²-ac，
∴7=（a+c）²-3ac，
由條件a+c=5得：7=25-3ac，解得ac=6，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

．

點評：此題考查學生掌握平面向量垂直時滿足的關系，靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用三角形的面積公式及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道中檔題．