Question

設函數f（x）=（x²+ax+a）•e^-x，其中x∈R，a是實數常數，e是自然對數的底數．
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程；
（Ⅱ）是否存在實數a，使得f（x）的極大值為2，若存在，求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入，對函數求導，求得切線斜率及切點的坐標，從而可求切線方程；
（Ⅱ）先求導函數，研究函數的單調區(qū)間，由單調區(qū)間求出函數的極大值，結合條件進行判斷即可．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=（x²+2x+2）e^-x；f′（x）=-x²e^-x
當x=-1時，f′（-1）=-e，f（-1）=e
∴f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為y=-ex；
（Ⅱ）f′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]
令f′（x）=0，得x=0或x=2-a，
分三種情況討論：
①、a＞2時，2-a＜0，
分析可得，x=0時，f（x）取得極大值，
有f（x）_極大=（0）=a•e^-0=2，解可得a=2，
又由a＞2，此時無解；
②、a=2時，2-a=0，f′（x）≤0，
f（x）不存在極大值，不合題意；
③、a＜2時，2-a＞0，

由表可知f（x）_極大=f（2-a）=（4-a）e^a-2=2^，
又由a＜2，也無解；
故不存在實數a，使得f（x）的極大值為2．

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查由函數的導數的符號變化研究函數的單調區(qū)間與極值，對于存在性問題常是先假設存在，再由假設推導，看是否產生矛盾．