Question

設f（x）=，對任意實數t，記，
（Ⅰ）求函數y=f（x）-g_t（x）的單調區間；
（Ⅱ）求證：
（ⅰ）當x＞0時，f（x）≥g_t（x）對任意正實數t成立；
（ⅱ）有且僅有一個正實數x₀，使得g_x（x₀）≥g_t（x₀）對任意正實數t成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：，
由，得x=±2，
因為當時，y′＞0；當時，y′＜0；當時，y′＞0，
故所求函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是（-2，2）。
（Ⅱ）證明：（i）令，
則，
當t＞0時，由h′（x）=0，得，
當時，h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）內的最小值是；
故當x＞0時，對任意正實數t成立；
（ii），
由（i）得，對任意正實數t成立．
即存在正實數，使得對任意正實數t成立．
下面證明的唯一性：
當，t=8時，
，
由（i）得，，
再取，得，
所以，
即時，不滿足對任意t＞0都成立，
故有且僅有一個正實數，使得對任意正實數t成立．