Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E為棱CC₁的中點．
（1）求AD₁與DB所成角的大小；
（2）求證DB⊥平面AEA₁．

Answer 1

分析：（1）以

DA

為x軸，

DC

為y軸，

DD1

為z軸建立空間直角坐標系，分別求出AD₁與DB的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到AD₁與DB所成角的大��；
（2）分別求出向量

DB

，

AE

，

AA1

的坐標，進而根據

DB

•

AE

=0，

DB

•

AA1

=0，得到DB⊥AE，DB⊥AA₁，結合線面垂直的判定定理即可得到答案．

解答：解：以

DA

為x軸，

DC

為y軸，

DD1

為z軸建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），E（0，2，1）…（2分）
（1）

D1A

=(2，0，-2)，

DB

=(2，2，0)，|

D1A

|=2

2

，|

DB

|=2

2

…（4分）
cos＜

D1A

，

DB

＞=

D1A • DB

| D1A || DB |

=

2×2+0×2+(-2)×0

2 2 ×2 2

=

1

2

…（6分）
∴AD₁與DB所成的角為60⁰…（7分）
（2）

DB

=(2，2，0)，

AE

=(-2，2，1)，

AA1

=(0，0，2)，…（9分）
∴

DB

•

AE

=2×(-2)+2×2+0×1=0，

DB

•

AA1

=2×0+2×0+0×2=0，…（11分）
∴DB⊥AE，DB⊥AA₁，
即DB⊥平面AEA₁內的兩條相交直線，∴DB⊥平面AEA₁…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，其中解答的關鍵是建立空間坐標系，將異面直線夾角問題，線線垂直問題轉化為向量夾角問題．