Question

【題目】如下圖，在三棱錐中， ， ， 為的中點.

（1）求證： ；

（2）設平面平面， ， ，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 二面角的正弦值為

【解析】試題分析：（1） 設的中點為，連接，由可證平面，進而可得；（2）兩兩互相垂直，可建立空間直角坐標系，分別求出平面的一個法向量和平面的一個法向量，再利用空間兩向量夾角余弦公式求出二面角的余弦，進而求的正弦.

試題解析：（1）設的中點為，連接，∵，∴，

又∵為的中點，∴，∵，∴．

∵，∴平面，

又∵平面，

∴．

（2）由（1）知： ， ，

∵平面平面，

平面平面平面，

∴平面，∵平面，

∴，∴兩兩互相垂直．

∵，∴．

由為的中點， 得，

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，

∴．

設平面的一個法向量為，則．

∴，取，解得，

∴是平面的一個法向量．

同理可求平面的一個法向量．

設二面角的大小為，則，

∵，∴，

∴二面角的正弦值為．