Question

已知函數f（x）=log_a（ax²-x+3）在[1，3]上是增函數，則a的取值范圍是

（0，，

1

6

]∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：由題意，所給的函數是一個對數型復合函數，可分兩類，此兩類為當a＞1時與當0＜a＜1時，再依據復合函數的單調性得出a滿足的不等式組，求出a的取值范圍．

解答：解：由題意函數f（x）=log_a（ax²-x+3）在[1，3]上是增函數
當a＞1時，外層函數是增函數，由于內層函數的對稱軸是x=

1

2a

，由復合函數的單調性知，內層函數在[1，3]是增函數，故有

1 2a ≤1 a-1+3＞0

，解得a＞1
當0＜a＜1時，外層函數是減函數，此時內層函數在[1，3]是減函數，故有

1 2a ≥3 9a＞0

解得0＜a≤

1

6

綜上知，a的取值范圍是（0，，

1

6

]∪（1，+∞）
故答案為（0，，

1

6

]∪（1，+∞）

點評：本題考查對數函數的單調性與二次函數的單調性及復合函數單調性的判斷，解題的關鍵是運用函數的單調性轉化出參數滿足的不等式組，本題易因為忘記真數大于0的限制，導致所求的參數的范圍過大，轉化時要注意保證等價，本題考察了判斷推理的能力，是對數中難度較大、綜合性較強的題