Question

【題目】已知是定義在上的奇函數，且.若對任意的，，都有.

（1）判斷函數的單調性，并說明理由；

（2）若，求實數的取值范圍；.

（3）若不等式對任意和都恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上是增函數，證明見詳解（2）（3）.

【解析】

（1）設任意，滿足，利用函數單調性定義證明（2）根據函數單調性可化為，求解即可（3）不等式對任意和都恒成立轉化為對任意都恒成立，令，轉化為對恒成立，根據一次函數的性質即可求解.

（1）在上是增函數，證明如下：

設任意，滿足,

,

即，

所以函數在上是增函數.

(2)因為函數在上是增函數，

所以原不等式可化為，

解得，

所以實數的取值范圍為.

（3）因為不等式對任意和都恒成立，

所以對任意都恒成立，由（1）知

故對任意都恒成立，

即對任意都恒成立，

令，

則只需，解得

所以實數的取值范圍為.