Question

當n為正整數時，定義函數N （n）表示n的最大奇因數．如N （3）=3，N （10）=5，…．記S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ）．則（1）S（4）=

86

．（2）S（n）=

4n+2

3

．

Answer 1

分析：（1）由題設知，N（2n）=N（n），N（2n-1）=2n-1．S（4）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]=[1+3+5+…+15]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]．由此能求出S（4）．
（2）由S（n）=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（2ⁿ）]，知S（n）=4^n-1+S（n-1）（n≥1），由此能推導出S(n)=4n-1+4n-2+…+41+40+1=

4n+2

3

．

解答：解：（1）由題設知，N（2n）=N（n），N（2n-1）=2n-1．
S（4）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]
=[1+3+5+…+15]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]
=4³+S（3）
=4³+4²+S（2）
=4³+4²+4¹+S（1）=86．
（2）S（n）=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（2ⁿ）]，
∴S（n）=4^n-1+S（n-1）（n≥1），
又S₁=N（1）=1，
∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+40+1=

4n+2

3

．

點評：本題考查等比數列的性質和應用，解題時要注意等比當選列的前n項和公式、通項公式的靈活運用，注意總結規律，認真解答．