Question

設函數f（x）=x²-ax+bln（x+1）（a，b∈R，且a≠2）．
（1）當b=1且函數f（x）在其定義域上為增函數時，求a的取值范圍；
（2）若函數f（x）在x=1處取得極值，試用a表示b；
（3）在（2）的條件下，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

解：（1）當b=1時，函數f（x）=x²-ax+bln（x+1），
其定義域為（-1，+∞）．∴．
∵函數f（x）是增函數，∴當x＞-1時，∴恒成立．
即當x＞-1時，恒成立．
∵當x＞-1時，，
且當時取等號．∴a的取值范圍為．
（2）∵，且函數f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0．∴b=2a-4．此時．
當，即a=6時，f'（x）≥0恒成立，
此時x=1不是極值點．∴b=2a-4（a≠6，且a≠2）
（3）由得
①當a＜2時，．∴當-1＜x＜1時，f′（x）＜0；
當x＞1時，f′（x）＞0．∴當a＜2時，
f（x）的單調遞減區間為（-1，1），單調遞增區間為（1，+∞）．
②當2＜a＜6時，．
∴當-1＜x＜，或x＞1時，f'（x）＞0；
當時，f'（x）＜0；
∴當2＜a＜6時，f（x）的單調遞減區間為，
單調遞增區間為，（1，+∞）．
③當a＞6時，．∴當-1＜x＜1，或x＞時，f'（x）＞0；
當時，f'（x）＜0；
∴當a＞6時，f（x）的單調遞減區間為，
單調遞增區間為．
綜上所述：∴當a＜2時，f（x）的單調遞減區間為（-1，1），
單調遞增區間為（1，+∞）；
當2＜a＜6時，f（x）的單調遞減區間為，
單調遞增區間為；
當a＞6時，f（x）的單調遞減區間為，
單調遞增區間為．
分析：（1）當b=1且函數f（x）在其定義域上為增函數，轉化為f′（x）≥0恒成立，x∈（-1，+∞），采取分離參數的方法求得a的取值范圍；（2）若函數f（x）在x=1處取得極值，得f′（1）=0，求出a，b的方程；（3）在（2）的條件下，討論函數f（x）的單調性，求導，比較方程f′（x）=0兩根的大小，確定函數的單調區間．
點評：考查函數在某點取得極值的條件和函數的單調性與導數的關系，在求a的取值范圍時采取的分離參數的方法，轉化為求函數的最值問題，體現了轉化的思想方法，討論函數單調性是，對于程f′（x）=0兩根的大小的比較，體現了分類討論的思想方法，屬難題．