Question

 如圖, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，點D是AB的中點，

  （1）求證：AC⊥BC₁；

  （2）求證：AC ₁//平面CDB₁；

  （3）求異面直線 AC₁與 B₁C所成角的余弦值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內的射影為BC，∴ AC⊥BC₁；

（2）設CB₁與C₁B的交點為E，連結DE，∵ D是AB的中點，E是BC₁的中點，∴ DE//AC₁，

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；

（3）∵ DE//AC₁，∴ ∠CED為AC₁與B₁C所成的角，

在△CED中，ED=AC ₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，∴ ，

∴ 異面直線 AC₁與 B₁C所成角的余弦值.