Question

如圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=

π

3

，其中AC與BD交于點(diǎn)G，A₁點(diǎn)在面ABCD上的射影0恰好為線段AD的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)G到平面ADD₁A₁距離；
（2）若D₁G與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為

3

4

，求二面角D₁-OC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）連接BO，取DO中點(diǎn)H，連接GH，由題意可得：平面AD₁⊥平面AC，進(jìn)而證明BO⊥平面AD₁，由GH與OB的關(guān)系可得答案．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意分別求出兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合向量間的運(yùn)算關(guān)系求出兩個(gè)向量的夾角．進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．

解答：解：（1）連接BO，取DO中點(diǎn)H，連接GH，
因?yàn)锳₁O⊥平面AC，所以平面AD₁⊥平面AC，
又底面為菱形，O為AD中點(diǎn)，
所以BO⊥平面AD₁，
因?yàn)镚H∥BO，
所以GH⊥平面AD₁，
又GH=

1

2

BD=

3

2

，
所以點(diǎn)G到平面ADD₁A₁的距離為

3

2

．
（2）分別以O(shè)A，OB，OA₁所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則 G(-

1

2

，

3

2

，0)，D₁（-2，0，a），所以

D1G

=(

3

2

，

3

2

，-a)，
面AD₁的一個(gè)法向量n=(0，

3

，0)，
所以cos?n，

D1G

＞=

3 2

3 • a2+3

=

3

4

，解得a=1，
因?yàn)槊鍻CD的一個(gè)法向量為n=（0，0，1），
設(shè)面OCD₁的一個(gè)法向量為p=（x，y，z），則

OD1

=(-2，0，1)，

OC

=(-2，

3

，0)，
則有

p• OC =0 p• OD1 =0.

所以

-2x+ 3 y=0 -2x+z=0

，
取x=

3

，m=(

3

，2，2

3

)，
則cos＜p，m＞=

2 3

19

=

2 57

19

，
所以二面角D-OC-D₁的大小為arccos

2 57

19

．

點(diǎn)評：夾角成立問題的關(guān)鍵是數(shù)列掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便得到線面關(guān)系以及建立坐標(biāo)系，利用向量夾角空間角，空間距離等問題．