Question

已知曲線C是到點(diǎn)和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡，l是過(guò)點(diǎn)Q（-1，0）的直線，M是C上（不在l上）的動(dòng)點(diǎn)；A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x軸（如圖）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求出直線l的方程，使得為常數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)N（x，y）為C上的點(diǎn)，進(jìn)而可表示出|NP|，根據(jù)N到直線的距離和|NP|進(jìn)而可得曲線C的方程．
（II）先設(shè)，直線l：y=kx+k，進(jìn)而可得B點(diǎn)坐標(biāo)，再分別表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根據(jù)|QA|²=|QM|²-|AM|²求得k．
解答：解：（I）設(shè)N（x，y）為C上的點(diǎn)，則，
N到直線的距離為．
由題設(shè)得，
化簡(jiǎn)，得曲線C的方程為．

（II）設(shè)，直線l：y=kx+k，則B（x，kx+k），從而．
在Rt△QMA中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212138863801513/SYS201310232121388638015021_DA/9.png">=，．
所以，
∴，
．
當(dāng)k=2時(shí)，，
從而所求直線l方程為2x-y+2=0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求曲線軌跡方程，兩條直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．