Question

設函數f（x）=A（sinωx+cosωx）（A＞0，ω＞0），正確的有

 

①f（x）的最大值為A；
②f（x）的最小正周期為

2π

ω

；
③函數f（x）在區間[0，

π

4

]上是增函數；
④若f（x）的圖象的一條對稱軸是直線x=

π

8

，且f（x）在區間[

π

8

，

π

4

]上是單調的，則ω=2；
⑤若f（

π

8

）=f（

3π

8

），則f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱”．

Answer 1

考點：正弦函數的單調性,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的對稱性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：由條件利用正弦函數的最值、周期性、圖象的對稱性、單調性，對各個結論的正確性作出判斷，從而得出結論．

解答： 解：由于函數f（x）=A（sinωx+cosωx）=A

2

sin（ωx+

π

4

） （A＞0，ω＞0），
可得它的最大值為

2

A，故①不對．
可得它的最小正周期為

2π

ω

，故②正確．
根據ω不確定，故不能確定函數f（x）在區間[0，

π

4

]上的單調性，故③不正確．
若f（x）的圖象的一條對稱軸是直線x=

π

8

，則ω•

π

8

+

π

4

=kπ+

π

2

，即ω=8k+2，k∈z；
再由f（x）在區間[

π

8

，

π

4

]上是單調的，可得

π

4

-

π

8

≤

1

2

•

2π

ω

，即0＜ω≤8，則ω=2，故④正確．
若f（

π

8

）=f（

3π

8

），則f（x）的圖象關于直線x=

π 8 + 3π 8

2

=

π

4

對稱，故⑤正確，
故答案為：②④⑤．

點評：本題主要考查正弦函數的最值、周期性、圖象的對稱性、單調性，屬于基礎題．