Question

將編號為1,2，…，9的九個小球隨機放置在圓周的九個等分點上，每個等分點上各有一個小球.設圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和為要S.求使S達到最小值的放法的概率.（注：如果某種放法，經旋轉或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認為是相同的放法）

Answer 1

解析:

九個編號不同的小球放在圓周的九個等分點上，每點放一個，相當于九個不同元素在圓周上的一個圓形排列，故共有8！種放法，考慮到翻轉因素，則本質不同的放法有種. …5分

下求使S達到最小值的放法數：在圓周上，從1到9有優弧與劣弧兩條路徑，對其中任一條路徑，設是依次排列于這段弧上的小球號碼，則

上式取等號當且僅當，即每一弧段上的小球編號都是由1到9遞增排列.

因此.…………………………………………………………………10分

由上知，當每個弧段上的球號確定之后，達到最小值的排序方案便唯一確定.

在1,2，…，9中，除1與9外，剩下7個球號2,3，…，8，將它們分為兩個子集，元素較少的一個子集共有種情況，每種情況對應著圓周上使S值達到最小的唯一排法，即有利事件總數是種，故所求概率……………20分