Question

如圖1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起，使面ABE⊥平面BCD（如圖2）．
（Ⅰ）若M為AC的中點(diǎn)，證明：DM∥面ABE；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（I）取AB中點(diǎn)N，連MN、EN，證明MNED為平行四邊形，得MD∥NE，由線線平行⇒線面平行；
（II）作AF⊥BE于F，因?yàn)槊鍭BE⊥平面BCD，交線為BE，證明AF為四棱錐A-BCDE的高，代入棱錐的體積公式計(jì)算．

解答：（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)N，連MN、EN，
因?yàn)镸為AC中點(diǎn)，所以MN∥BC，MN=

1

2

BC，故MN∥DE，MN=DE，
所以MNED為平行四邊形，
所以MD∥NE，
因?yàn)镹E?面ABE，DM?面ABE，所以DM∥面ABE；
（Ⅱ）作AF⊥BE于F，因?yàn)槊鍭BE⊥平面BCD，交線為BE，AF?面ABE，
所以AF⊥面BCD，即AF為四棱錐A-BCDE的高，
由AB⊥AE，AB=AE=2，知AF=

2

，
又S_梯形BCDE=

1

2

×(2+4)×2=6，
所以V_A-BCDE=

1

3

×6×

2

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的證明，考查了棱錐的體積計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象能力能力與推理論證能力．