Question

已知從A地去B地有兩條路可走，并且汽車走路①堵車的概率為

1

4

；汽車走路②堵車的概率為p．若現在有兩輛汽車走路①，有一輛汽車走路②，且這三輛車是否堵車相互之間沒有影響．
（Ⅰ）若這三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為

7

16

，求走公路②堵車的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求這三輛汽車中被堵車輛的輛數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是一個獨立重復試驗，走公路②堵車的概率為p，不堵車的概率為1-p，根據獨立重復試驗的概率公式寫出關于p的方程，解出p的值，得到結果
（Ⅱ）確定三輛汽車中被堵車輛的個數ξ的可能取值，結合變量對應的事件和相互獨立事件同時發生的概率寫出變量的分布列，從而可求數學期望．

解答：解：（Ⅰ）由已知條件得

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(1-p)+(

3

4

)2p=

7

16

，即3p=1，∴p=

1

3

         …（5分）
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3
P（ξ=0）=

3

4

•

3

4

•

2

3

=

3

8

；P（ξ=1）=

7

16

；P（ξ=2）=

1

4

•

1

4

•

2

3

+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•

1

3

=

1

6

；P（ξ=3）=

1

4

•

1

4

•

1

3

=

1

48

ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	3 8	7 16	1 6	1 48

所以Eξ=0×

3

8

+1×

7

16

+2×

1

6

+3×

1

48

=

5

6

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發的概率，考查利用概率知識解決實際問題，屬于中檔題．