Question

列出你對函數f(x)=x+

a

x

(a＞0)的認識．（提示：從函數的定義域、奇偶性、單調性、值域、圖象等多個方面，有理有分）

Answer 1

分析：由函數的解析式我們易求出函數的定義域；進而判斷f（-x）與f（x）的關系，結合函數奇偶性的定義，可以判斷出函數的奇偶性；求出函數的導函數，求出導函數的零點，將定義域分為若干個小的子區間，分別討論導函數在各個子區間上的符號，即可判斷出函數的單調性，根據函數的單調性，我們易求出函數的值域，并畫出函數的圖象．

解答：解：（1）要使函數的解析式有意義，自變量x須滿足x≠0
故函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）∵函數f(x)=x+

a

x

(a＞0)
∴f(-x)=-x+

a

-x

=-f（x）
∴f（x）為奇函數
（3）又∵f'（x）=1-a

1

x2

∴∴f（x）在（-∞，-

a

]，[

a

，+∞）上為增函數；
f（x）在[-

a

，0），（0，

a

]上為減函數．
（4）由（3）得函數在x=-

a

時，取極大值；
在x=

a

時，取極小值；函數的值域為（-∞，-2

a

]，[2

a

，+∞）．
（5）其函數圖象大致如圖所示：

點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，函數的奇偶性的證明，函數的定義域、值域和函數的圖象，這是我們學習每種類型的函數都必須要關注的幾個要點．