Question

（2006•南匯區二模）{a_n}是等差數列，設f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，n是正偶數，且已知f_n（1）=n²，f_n（-1）=n
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）證明

5

4

＜fn(

1

2

)＜3(n≥3)．

Answer 1

分析：（1）利用已知和等差數列的定義、通項公式、前n項和公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”即可得出fn(

1

2

)，再利用fn(

1

2

)的單調性即可證明．

解答：解：（1）∵fn(1)=a1+a2+…+an=na1+

n(n-1)

2

d=n2，
fn(-1)=-a1+a2-…-an-1+an=

n

2

d=n，
∴a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N₊）．
（2）∵fn(

1

2

)=a1(

1

2

)+a2(

1

2

)2+…+an(

1

2

)n，
∴

1

2

fn(

1

2

)=a1(

1

2

)2+a2(

1

2

)3+…+an-1(

1

2

)n+an(

1

2

)n+1，
∴

1

2

fn(

1

2

)=

1

2

+2×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+2×(

1

2

)n-(2n-1)•(

1

2

)n+1=2×

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

1

2

-(2n-1)•

1

2n+1

，
∴fn(

1

2

)=3-(

1

2

)n-2-(2n-1)(

1

2

)n＜3，
又可證fn(

1

2

)當n≥2時為單調遞增函數．
∴fn(

1

2

)＞f2(

1

2

)=

5

4

，
綜上可證

5

4

＜fn(

1

2

)＜3(n≥3)．

點評：熟練掌握等差數列與等比數列的定義、通項公式、前n項和公式、“錯位相減法”、數列的單調性等是解題的關鍵．