Question

【題目】已知.

（1）當時，解不等式；

（2）若關于的方程的解集中恰好有一個元素，求實數的值；

（3）設，若對任意，函數在區間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或，（3）

【解析】

（1）根據對數單調性化簡不等式，再解分式不等式得結果；

（2）先化簡對數方程，再根據分類討論方程根的情況，最后求得結果；

（3）先確定函數單調性，確定最值取法，再化簡不等式，根據二次函數單調性確定最值，解得結果.

（1）當時，

不等式解集為

（2）

①當時，僅有一解，滿足題意；

②當時，則，

若時，解為，滿足題意；

若時，解為

此時

即有兩個滿足原方程的的根，所以不滿足題意；

綜上，或，

（3）因為在上單調遞減，所以函數在區間上的最大值與最小值的差為，因此

即對任意恒成立，

因為，所以在上單調遞增，

所以

因此