Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD⊥底面ABCD，
PA=PD，且PD與底面ABCD所成的角為45°，
（Ⅰ）求證：PA⊥平面PDC；
（Ⅱ）已知E為棱AB的中點，問在棱PD上是否存在一點Q，使EQ∥平面PBC？若存在，寫出點Q的位置，并證明你的結論；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由條件證明故有CD⊥面PAD，可得 CD⊥PA．取AD的中點為O，則PO⊥AD．再證∠PDO=45°，為PD與底面ABCD所成的角，可得△PAD為
等腰直角三角形，故有PA⊥AD．利用直線和平面垂直的判定定理證得 PA⊥平面PDC．
（2）存在，當點Q為PD中點時，EQ∥平面PBC．取PC中點為F，證明QF和BE平行且相等，故BEQF為平行四邊形，可得QE∥BF．再利用直線和平面
平行的判定定理證得 EQ∥平面PBC．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，面PAD⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
故有CD⊥面PAD，∴CD⊥PA．
∵PA=PD，且PD與底面ABCD所成的角為45°，故△PAD為等腰三角形．取AD的中點為O，則PO⊥AD．
由側面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD，故∠PDO=45°，為PD與底面ABCD所成的角，
故△PAD為等腰直角三角形，故有PA⊥AD．
再由AD∩CD=D，可得PA⊥平面PDC．
（2）存在，當點Q為PD中點時，EQ∥平面PBC．
證明：取PC中點為F，則QF是三角形PCD的中位線，故QF平行且等于

1

2

CD，又  EB平行且等于

1

2

CD，
故QF和BE平行且相等，故BEQF為平行四邊形，∴QE∥BF．
而BF?平面PBC，QE不在平面PBC內，故有EQ∥平面PBC．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理、直線和平面平行的判定定理的應用，直線和平面所成的角的定義和求法，屬于中檔題．