Question

已知三點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若向量（k為常數且0＜k＜2，O為坐標原點，S_△BOC表示△BOC的面積）
（1）求cos（β-γ）的最值及相應的k的值；
（2）求cos（β-γ）取得最大值時，S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB．

Answer 1

【答案】分析：（1）將已知中的向量關系變形為等式的一邊有一個向量，將等式平方求出cos（β-γ）的函數式，分離常數，利用二次函數的最值求出范圍
（2）將k值代入向量等式求出三個向量的夾角，又三個向量的模相等，得到三個三角形全等，得到三角形的面積比．
解答：解：（1）由得
兩邊平方，得k²+（2-k）²+2k（2-k）cos（β-γ）=1
整理得
當k∈（0，2）時，k²-2k∈[-1，0），，
又cos（β-γ）∈[-1，1]，
∴
當k=1時，cos（β-γ）取得最大值；
當時，cos（β-γ）取得最小值-1．

（2）由（1）得，cos（β-γ）取得最大值時，k=1
此時，且的夾角為120°．
又，
∴的夾角為120°．
故S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB=1：1：1．
點評：本題考查向量的運算法則、兩角和的公式、分離常數求二次函數的值域、利用向量的數量積求出向量的夾角．