Question

已知雙曲線C的方程為（a>0，b>0），右準線方程為x=，右焦點與右頂點到漸近線的距離之比為。
（1）求雙曲線C的方程；
（2）雙曲線C上是否存在A，B兩點，使得原點O到直線AB的距離為？若存在，求|AB|的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵右準線方程為，
∴
又∵右焦點與右頂點到漸近線的距離之比為
∴
∴
∴
∴雙曲線C的方程為。
（2）假設存在A，B兩點，使得原點O到直線AB的距離為。
①當AB⊥x軸時，
∵原點O到直線AB的距離為
∴或
∴。
②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m
由得
則△=
即
設，
由根與系數的關系得
∴

∵原點O到直線AB的距離為
∴
∴m²=
∵
∴
∴k∈R
∴
當k≠0時

當k=0時，
∴。