Question

【題目】已知函數．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若恰有兩個極值點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時，為常數函數，無單調性；當時，單調增區間是，單調減區間是；當時，單調增區間是，單調減區間是；（2）.

【解析】

（1）先求導，對分類討論，即可求解；

（2）函數有兩個極值點，轉化為導函數在定義域內有兩個不同的零點，通過分離參數，構造新函數，把兩個零點轉為新函數的圖像與直線有兩個交點，利用求導作出新函數的圖像，即可求解.

（1）的定義域為，

，

當時，為常數函數，無單調性；

當時，令；

當時，令；

綜上所述，當時，為常數函數，無單調性；

當時，單調增區間是，單調減區間是；

當時，單調增區間是，單調減區間是；

（2）由題意，的定義域為，

且，若在上有兩個極值點，

則在上有兩個不相等的實數根，

即 ①有兩個不相等的正的實數根，

當時，不是的實數根，

當時，由①式可得，

令，，

單調遞增，又；

單調遞增，且；

單調遞減，且；

因為；

所以左側，；

右側，；

，；

所以函數的圖像如圖所示：

要使在上有兩個不相等的實數根，

則

所以實數的取值范圍是.