Question

在直角坐標平面上，O為原點，M為動點，．過點M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點N₁，．記點T的軌跡為曲線C，點A(5，0)、B(1，0)，過點A作直線l交曲線C于兩個不同的點P、Q(點Q在A與P之間)．

(1)求曲線C的方程；

(2)證明不存在直線l，使得|BP|＝|BQ|；

(3)過點P作y軸的平行線與曲線C的另一交點為S，若，證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設點T的坐標為，點M的坐標為，則M1的坐標為(0，)，，于是點N的坐標為，N1的坐標為，所以 　　由 　　由此得 　　由 　　即所求的方程表示的曲線C是橢圓．　3分 　　(2)點A(5，0)在曲線C即橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓C無交點，所以直線l斜率存在，并設為k．直線l的方程為 　　由方程組 　　依題意 　　當時，設交點PQ的中點為， 　　則 　　 　　又 　　 　　而不可能成立，所以不存在直線l，使得|BP|＝|BQ|．　7分 　　(3)由題意有，則有方程組 　　　由(1)得　(5) 　　將(2)，(5)代入(3)有 　　整理并將(4)代入得， 　　易知 　　因為B(1，0)，S，故，所以 　　 　　　13分