Question

3．如圖，拋物線x²=4y在點$M（t，\;\frac{1}{4}{t^2}）\;（t＞0）$處的切線與x軸相交于點N，O、F分別為該拋物線的頂點、焦點．
（1）當t=2時，求切線MN的方程；
（2）當t∈（0，1]時，求四邊形OFMN的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）當t=2時，求導數，確定切線斜率，即可求切線MN的方程；
（2）過M作MH⊥x軸于H點，則H（t，0）又F（0，1），則S_{四邊形OFMN}=S_梯形OFMH-S_△MHN，即可求四邊形OFMN的面積的最大值．

解答 解：（1）∵$y=\frac{1}{4}{x^2}∴y'=\frac{1}{2}x$…（2分），
∴y'|_x=2=1即k_MN=1…（3分）
又M（2，1）…（4分），
∴切線MN的方程是：y-1=1（x-2）…（5分）
即x-y-1=0…（6分）
（2）$y'\left|{_{x=t}=\frac{1}{2}t}\right.$，∴$MN的方程是：y-\frac{1}{4}{t^2}=\frac{1}{2}t（x-t）$    …（8分）
令$y=0得：x=\frac{1}{2}t∴N（\frac{1}{2}t，0）$…（9分）
過M作MH⊥x軸于H點，則H（t，0）又F（0，1）…（10分）
則S_{四邊形OFMN}=S_梯形OFMH-S_△MHN=$\frac{{1+\frac{1}{4}{t^2}}}{2}•t-\frac{1}{2}（t-\frac{t}{2}）•\frac{1}{4}{t^2}$=$\frac{1}{16}{t^3}+\frac{1}{2}tt∈（{0，1}]$            …（12分）
∵$S'=\frac{3}{16}{t^2}+\frac{1}{2}＞0$，∴S（t）在（0，1]上為增函數                             …（13分）
∴${S_{最大}}=S（1）=\frac{1}{16}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$…（14分）

點評 本題考查直線、拋物線等基礎知識，考查直線與拋物線的位置關系，考查運算求解能力，抽象思維能力，考查數形結合思想，屬于中檔題．