Question

若曲線f（x）=ax²+lnx存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出函數的定義域，然后求出導函數，根據存在垂直于y軸的切線，得到此時斜率為0，問題轉化為x＞0范圍內導函數存在零點，再將之轉化為g（x）=-2ax與存在交點，討論a的正負進行判定即可．
解答：解：由題意該函數的定義域x＞0，由．
因為存在垂直于y軸的切線，
故此時斜率為0，問題轉化為x＞0范圍內導函數存在零點．
再將之轉化為g（x）=-2ax與存在交點．當a=0不符合題意，
當a＞0時，如圖1，數形結合可得顯然沒有交點，
當a＜0如圖2，此時正好有一個交點，故有a＜0應填（-∞，0）
故答案為：{a|a＜0}

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，函數零點等有關基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于基礎題．