Question

己知圓C：（x-x₀）²+（y-y₀）²=R²（R＞0）與y軸相切
（1）求x₀與R的關系式
（2）圓心C在直線l：x-3y=0上，且圓C截直線m：x-y=0所得的弦長為2

7

，求圓C方程．

Answer 1

分析：（1）由圓C方程找出圓心C坐標與半徑R，根據圓C與y軸相切，得到圓心橫坐標的絕對值等于R，即可列出x₀與R的關系式；
（2）由圓心C在直線l上，設圓心C（3y_o，y_o），再由圓C與y軸相切，表示出R，利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d，由R與d，利用垂徑定理及勾股定理列出關于y₀的方程，進而確定出圓心C坐標與半徑R，寫出圓C方程即可．

解答：解：（1）根據題意得：|x₀|=R；
（2）由圓心C在l：x-3y=0上，可設圓心C（3y_o，y_o），
∵圓C與y軸相切，∴R=3|y_o|，
∵圓心C到直線m的距離d=

|3yo-yo|

2

=

2

|y_o|，
∴弦長=2

R2-d2

=2

7

，
∴2

9yo2-2yo2

=2

7

，
解得：y₀=±1，
∴圓C（3，1）或（-3，-1），R=3，
則圓C方程為（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，以及圓的標準方程，涉及的知識有：點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．