Question

已知α，β，γ∈R，則

|sinα-sinβ|

+

|sinβ-sinγ|

+

|sinγ-sinα|

的最大值為

2+

2

．

Answer 1

分析：設a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，則a，b，c∈[-1，1]，不妨設 a≥b≥c，則原式=

|a-b|

+

|b-c|

+

|a-c|

．分析可得要使原式取得最大值，必須有a=1，c=-1，b=0，由此原式的最大值．

解答：解：由于sinα、sinβ、sinγ∈[-1，1]，設a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，則a，b，c∈[-1，1]．
不妨設 a≥b≥c，令f=

|a-b|

+

|b-c|

+

|a-c|

．
再采用固定變量法：
對于固定的b，c，f隨a的增大而增大，所以當原式取最大值時，a一定取1，
對于固定的a，b，f隨c的減小而增大，所以當原式取最大值時，c一定取-1．
此時，原式=

1-b

+

b+1

+

2

．
令g（b）=

1-b

+

b+1

（-1≤b≤1），∵g²（b）=2+2

1-b2

，
∴當b=0時，g²（b）最大，故g（b）的最大值為

2

．
綜上可得，要使原式取得最大值，必須有a=1，c=-1，b=0，
故原式的最大值為 2+

2

，
故答案為 2+

2

．

點評：本題主要考查正弦函數的值域，求函數的最大值，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．