Question

已知等差數列{a_n}和公比為q（q≠1）的正項等比數列{b_n}滿足a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅，
（1）求等比數列{b_n}的公比q；
（2）記M_n=a₁+a₂+…+a_n，N_n=b₁+b₂+…+b_n，試比較M₅與N₅的大小．
（3）若a=1，設數列c_n=a_2n+1•b_2n+1，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）通過a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅，列出方程，結合正項等比數列{b_n}，求出等比數列{b_n}的公比q；
（2）通過（1）直接求出M_n=a₁+a₂+…+a_n，N_n=b₁+b₂+…+b_n，M₅與N₅即可利用作商法，比較出大小．
（3）a=1，推出數列c_n=a_2n+1•b_2n+1的通項公式，利用錯位相減法，直接求出數列{c_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）因為a₁=b₁，a₃=b₃，a₇=b₅，
所以，a₁+2d=b₁q²=aq²
a₁+6d=b₁q⁴=aq⁴，
變形得：a（1-q²）=-2d ①
a（1-q⁴）=-6d ②
②÷①得，1+q²=3
正項等比數列{b_n}，
所以q²=2，
即，q=

2

．
（2）由（1）可知d=

a

2

，
M₅=

5×(a+a+4d)

2

=10a；
N₅=

a(1-( 2 )5)

1- 2

=

a(( 2 )5-1)

2 -1

=

a(2 2 -1)

2 -1

，

M5

N5

=

10a

a(2 2 -1) 2 -1

=

10( 2 -1)

2 2 -1

＞1，
M₅＞N₅．
（3）an=a+(n-1)

a

2

=

a

2

(n+1)，bn=a•(

2

)n-1
由題意若a=1，數列c_n=a_2n+1•b_2n+1=（2n+2）•(

2

)2n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹…①
2S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²…②
②-①得S_n=-2•2²-3•2³-2⁴-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²；
S_n=-4+（n+1）•2ⁿ⁺²-

4(1-2n-1)

1-2

=-4+（n+1）•2ⁿ⁺²+4（1-2^n-1）=（n+1）•2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹．

點評：本題是中檔題，考查等差數列與等比數列的基本關系式，求解等比，前n項和的求法，錯位相減法的應用，考查計算能力．