Question

（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，線段OF₁、OF₂的中點(diǎn)分別為B₁、B₂，且△AB₁B₂是面積為的直角三角形．過(guò)Ｂ₁作直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)．

(1) 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2) 若，求直線l的方程；

(3) 設(shè)直線l與圓O：x²+y²=8相交于M、N兩點(diǎn)，令|MN|的長(zhǎng)度為t，若t∈，求△B₂PQ的面積的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）x+2y+2=0和x–2y+2=0；（3）。

【解析】

試題分析：（1）設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點(diǎn)為.

因△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90º，得c=2b…………1分

在Rt△AB₁B₂中，，從而.………………3分

因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： …………………………………………4分

(2)由(1)知,由題意知直線的傾斜角不為0,故可設(shè)直線的方程為：,代入橢圓方程得,…………………………6分

設(shè)P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂)，則y₁、y₂是上面方程的兩根，因此，

，又，所以

………………………………8分

由，得=0，即，解得；  

所以滿足條件的直線有兩條,其方程分別為：x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分 

(3) 當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線，此時(shí)，………………11分

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線，則圓心到直線的距離，

因此t=，得………………………………………13分

聯(lián)立方程組：得，由韋達(dá)定理知，

，所以，

因此.

設(shè)，所以，所以…15分

綜上所述：△B₂PQ的面積……………………………………………16分

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與橢圓的綜合應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．