Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q分別為對角線BD、CD₁上的點，且

CQ

QD1

=

BP

PD

=

2

3

．
（Ⅰ）求證PQ∥平面A₁D₁DA；
（Ⅱ）若R是AB上的點，當

AR

AB

的值為多少時，能使平面PQR∥平面A₁D₁DA？請給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連結CP并延長與DA的延長線交于M點，證明BC∥AD，PQ∥MD₁，又MD₁?平面A₁D₁DA，PQ?平面A₁D₁DA，證明PQ∥平面A₁D₁DA；
（Ⅱ）R是AB上的點，當

AR

AB

的值為

3

5

時，能使平面PQR∥平面A₁D₁DA，通過證明PR∥平面A₁D₁DA，又PQ∩PR=P，PQ∥平面A₁D₁DA．然后證明即可．

解答：（Ⅰ）證明：連結CP并延長與DA的延長線交于M點，
因為四邊形ABCD為正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以

CP

PM

=

BP

PD

=

2

3

，
又因為

CQ

QD1

=

BP

PD

=

2

3

，所以

CQ

QD1

=

CP

PM

=

2

3

，所以PQ∥MD₁．
又MD₁?平面A₁D₁DA，PQ?平面A₁D₁DA，故PQ∥平面A₁D₁DA．  …（6分）
（Ⅱ）當

AR

AB

的值為

3

5

時，能使平面PQR∥平面A₁D₁DA．
證明：因為

AR

AB

=

3

5

，即有

BR

RA

=

2

3

，故

BR

RA

=

BP

PD

，所以PR∥DA．
又DA?平面A₁D₁DA，PR?平面A₁D₁DA，
所以PR∥平面A₁D₁DA，又PQ∩PR=P，PQ∥平面A₁D₁DA．
所以平面PQR∥平面A₁D₁DA．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理，平面與平面平行的判定定理，考查空間想象能力邏輯推理能力．