Question

（2012•嘉定區(qū)三模）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程log2(ax2+2x+1)-m=0恒有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．（-∞，1）

B．（0，1]

C．[0，1]

D．（0，1）

Answer 1

分析：依題意，可知函數(shù)y=log2(ax2+2x+1)的值域?yàn)镽，從而可知函數(shù)g（x）=ax²+2x+1與x軸有交點(diǎn)且g（x）∈（0，+∞）；通過(guò)對(duì)參數(shù)a分a=0與a＞0且△≥0的討論即可得到答案．

解答：解：∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程log2(ax2+2x+1)-m=0恒有解，
∴函數(shù)y=log2(ax2+2x+1)的值域?yàn)镽，
∴函數(shù)g（x）=ax²+2x+1與x軸有交點(diǎn)且函數(shù)y=g（x）的值域包含了所有的正數(shù)．
∴當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=2x+1與x軸有交點(diǎn)（-

1

2

，0），滿足題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，則a＞0且△=4-4a≥0，
∴0＜a≤1．
綜上所述，0≤a≤1．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查理解題意與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．