Question

已知斜率為1的直線l與雙曲線C：（a＞0，b＞0）相交于B、D兩點，且BD的中點為M(1，3)，
(Ⅰ)求C的離心率；
(Ⅱ)設C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|·|BF|=17，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切。

Answer 1

解：(Ⅰ)由題設知，l的方程為：y=x+2，
化入C的方程，并化簡，得(b²-a²)x²-4a²x-4a²-a²b²=0，
設B（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
則，①
由M(1，3)為BD的中點知，
故，即b²=3a²，②
故，所以C的離心率。
(Ⅱ)由①、②知，C的方程為：3x²-y²=3a²，
A(a，0)，F(2a，0)，x₁+x₂=2，x₁·x₂=，
故不妨設x₁≤-a，x₂≥a，
，
，
|BF|·|FD|=(a-2x₁)(2x₂-a)=-4x₁x₂+2a(x₁+x₂)-a²=5a²+4a+8，
又|BF|·|FD|=17，
故5a²+4a+8=17，解得a=1或a=（舍去），
故，
連結MA，則由A(1，0)，M(1，3)知|MA|=3，
從而MA=MB=MD，
且MA⊥x軸，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經過A、B、D三點，且在點A處與x軸相切．
所以過A、B、D三點的圓與x軸相切．