Question

已知等比數列{a_n}中，a₁+a₃=10，前4項和為40．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若等差數列{b_n}的各項為正，其前n項和為T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，求T_n．

Answer 1

分析：（1）首先根據等比數列的公式及其和公式可得

a1+a1q2=10 a1+a1q+a1q2+a1q3=40

，即可求出

a1=1 q=3

，進而可以求出數列{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1
（2）首先設等差數列{b_n}的公差為d，則T₃=b₁+b₂+b₃=3b₂=15，可求出b₂=5，再由已知知a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，即（a₂+b₂）²=（a₁+b₁）（a₃+b₃），即可得出d=-10或d=2，經判斷舍去d=-10，進而得出_Tn=n²+2n

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，則

a1+a1q2=10 a1+a1q+a1q2+a1q3=40

∴

a1=1 q=3.

∴a_n=a₁q^n-1=3^n-1．
∴等比數列{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1．
（2）設等差數列{b_n}的公差為d，則T₃=b₁+b₂+b₃=3b₂=15，
∴b₂=5．
又∵a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，
∴（a₂+b₂）²=（a₁+b₁）（a₃+b₃），
即（3+5）²=（1+b₁）（9+b₃），
64=（6-d）（14+d）．
∴d=-10或d=2．
∴

b1=15 d=-10

（舍去）或

b1=3 d=2.

∴Tn=nb1+

n(n-1)

2

d=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n．

點評：此題主要考等比數列的求解及相關計算．