Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，離心率e=

1

2

．
（I）若點F在直線l：x-y+1=0上，求橢圓E的方程；
（II）若0＜a＜1，試探究橢圓E上是否存在點P，使得

PF

•

PA

=1？若存在，求出點P的個數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵F（-c，0）在直線l：x-y+1=0上，
∴-c+1=0，即c=1，
又e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c=2，
∴b=

a2-c2

=

22-12

=

3

．
從而橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由e=

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a，
∴b=

a2-c2

=

a2- a2 4

=

3 a

2

，
橢圓E的方程為

x2

a2

+

4y2

3a2

=1，其左焦點為F(-

1

2

a，0)，右頂點為A（a，0），
假設橢圓E上存在點P（x₀，y₀）（-a≤x₀≤a），使得

PF

•

PA

=1，
∵點P（x₀，y₀）在橢圓上，∴y02=-

3

4

x02+

3

4

a2，
由

PF

•

PA

=(-

1

2

a-x0，-y0)•(a-x0，-y0)
=(-

1

2

a-x0)(a-x0)+y02
=-

1

2

a2-

1

2

ax0+x02-

3

4

x02+

3

4

a2
=

1

4

(x0-a)2=1．
解得：x₀=a±2，
∵0＜a＜1，∴
x₀=a±2∉[-a，a]，
故不存在點P，使得

PF

•

PA

=1．