Question

已知函數f(x)=x-

2

x

+1-alnx，a＞0，
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設a=3，求f（x）在區間[1，e²]上值域．期中e=2.71828…是自然對數的底數．

Answer 1

（I）∵函數f(x)=x-

2

x

+1-alnx，a＞0
∴f′（x）=1+

2

x2

-

a

x

，x＞0
令t=

1

x

＞0
y=2t²-at+1（t≠0）
①△=a²-8≤0，即：0＜a≤2

2

，y≥0恒成立，此時函數f（x）在（0，+∞）上是增函數
②△=a²-8＞0，即：a＞2

2

，y=0有兩個不等根
由2t²-at+1＞0，得t＜

a- a2-8

4

或t＞

a+ a2-8

4

，又x＞0
∴0＜x＜

a- a2-8

2

或x＜0或x＞

a+ a2-8

2

由2t²-at+1＜0，得

a- a2-8

2

＜t＜

a+ a2-8

2

∴

a- a2-8

2

＜x＜

a+ a2-8

2

綜上：①0＜a≤2

2

，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數
②a＞2

2

函數f（x）(0，

a- a2-8

2

)，(

a+ a2-8

2

，+∞)上是增函數，在(

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

)上是減函數，
（2）當a=3時，由（1）知f（x）在（1，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數，
故函數在[1，2]是奇函數，在[2，e²]上是增函數
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e²）=e²-

2

e2

-5＞0
∴f（x）在區間[1，e²]上值域是[2-3ln2，e²-

2

e2

-5]