Question

【題目】已知正三棱柱中，，，點為的中點，點在線段上．

（1）當時，求證：；

（2）是否存在點，使二面角等于？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在點，且.

【解析】

試題分析：（1）借助題設條件運用線面垂直的性質定理推證；（2）借助題設運用空間向量的數量積公式建立方程求解.

試題解析：

（1）證明：連接，

因為為正三棱柱，所以為正三角形，

又因為為的中點，所以，

又平面平面，平面平面，

所以平面，所以．

因為，，，所以，，

所以在中，，

在中，，所以，即，

又，

所以平面，平面，所以．

（2）假設存在點滿足條件，設，

取的中點，連接，則平面，

所以，，

分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，

則，，，

所以，，，，

設平面的一個法向量為，

則即令，得，

同理，平面的一個法向量為，

則即取，得，

所以，解得，

故存在點，當時，二面角等于．