Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，若對于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式； 
（Ⅱ）令bn=

an+1	2n-1•n(n+1)

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得a_n+1=2（a_n-1+1），{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列，從而可求得數列{a_n}的通項公式； 
（Ⅱ）將a_n=2ⁿ-1代入b_n=

an+1

2n-1•n(n+1)

可求得b_n=2（

1

n

-

1

n+1

），從而可求得數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，得a₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-n-2a_n-1+（n-1）=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），
所以{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．（6分）
（Ⅱ）∵b_n=

an+1

2n-1•n(n+1)

=

2n

2n-1•n(n+1)

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．（12分）

點評：本題考查等比關系的確定與等比數列的通項公式的應用，突出考查裂項法求和，屬于中檔題．