Question

已知集合，若該集合具有下列性質的子集：每個子集至少含有2個元素，且每個子集中任意兩個元素之差的絕對值大于1，則稱這些子集為子集，記子集的個數為．
（1）當時，寫出所有子集；
（2）求；
（3）記，求證：

Answer 1

（1）；（2）133；（3）詳見解析

試題分析：（1）當子集中只含有2個元素時，含1時，另一個元素只能是3或4或5；含2時另一個元素只能是4或5；含3時另一個元素只能是5；當子集中含3個元素時只能是1、3、5這三個元素。（2）應先求關于 的解析式：的子集可分為兩類：第一類子集中不含有，相當于的子集個數；第二類子集中含有則肯定不含，相當于的子集個數和的單元素與元素構成的集合數，即，分析可知，則可求。（3）可用錯位相減法證明。
解：（1）當時，所以子集：，，，，，，．
（2）的子集可分為兩類：第一類子集中不含有，這類子集有個；
第二類子集中含有，這類子集成為的子集與的并，或的單元素子集與的并，共有個．
所以．
因為，，
所以，，，，，．
（3）因為，   ①
所以   ②
①②得






所以．