Question

已知函數f（x）=x³+bx²+（b²-1）x+1圖象的對稱中心為（0，1）；函數在 區間[-2，1）上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增．
（Ⅰ）求實數b的值；
（Ⅱ）求sinθ的值及g（x）的解析式；
（Ⅲ）設φ（x）=f（x）-g（x），試證：對任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，都有|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知，f（x）+f（-x）=2，
即x³+bx²+（b²-1）x+1-x³+bx^2-（b²-1）x+1=2，解得b=0．
（Ⅱ）g'（x）=3ax²+sinθ•x-2
由，消去a可得sinθ≥1，
從而sinθ=1，，
∴sinθ=1，．
（Ⅲ）證明：
∴φ'（x）=2x²-x+1=2+．
對任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，
|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|?|φ'（x）|＞2．
而在（1，+∞）上，φ'（x）＞φ'（1）=2×+=2
∴對任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，都有|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|．
分析：（Ⅰ）由中心對稱的性質：若函數y=f（x）關于點（a，f（a））對稱，則f（a+c）+f（a-c）=2f（a），可得關于b的等式，然后整理可解b．
（Ⅱ）由函數單調性與導數的關系可得g′（2）≤0，由函數極值與導數的關系可得g′（1）=0，則整理這兩個關系式即可求得sinθ的值與g（x）的解析式．
（Ⅲ）先由（Ⅰ）、（Ⅱ）求出φ（x）；然后利用導數的幾何意義，只需證明對任意的x₁、x₂∈（1，+∞），x₁≠x₂時，φ'（x）＞2即可；再根據二次函數的單調性易知（1，+∞）是φ'（x）的遞增區間，顯然φ'（x）＞φ'（1）=2．
則問題得證．
點評：本題考查中心對稱的性質，函數單調性、極值與導數的關系，導數的幾何意義等，知識的考查面較廣．