Question

已知函數f（x）=x²+2aln（1-x）（a∈R），g（x）=f（x）-x²+x．
（1）當a=

1

2

時，求函數g（x）的單調區間和極值；
（2）若f（x）在[-1，1）上是單調函數，求實數a的取值范圍；
（3）若數列{a_n}滿足a₁=1，且（n+1）a_n+1=na_n，S_n為數列{a_n}的前n項和，求證：當n≥2時，S_n＜1+lnn．

Answer 1

分析：（1）利用導數來求，函數g（x）的單調增區間上導數大于0，減區間上導數小于0，極值點處導數等于0，所以只需求導，在判斷導數何時等于0，何時大于0，何時小于0即可．
（2）若f（x）在[-1，1）上是單調函數，則[-1，1）必為函數某一單調區間的子區間，先帶著參數a求函數的單調區間，再比較[-1，1）區間端點與函數的幾個單調區間的端點大小，即可得到a的范圍．
（3）先根據數列{a_n}遞推關系式，用累乘法求出數列{a_n}的通項公式，再借助導數，用放縮法證明當n≥2時，S_n＜1+lnn即可．

解答：解：（1）f（x）=ln（1-x）+x，定義域為（-∞，1），g′(x)=1-

1

1-x

，令g'（x）=0得x=0，
可以列表，也可以直接研究g'（x）的正負，得g（x）的單調遞增區間為（-∞，0）；
單調遞減區間為（0，1）；x=0時g（x）有極大值0．
（2）f′(x)=2x-

2a

1-x

，若f'（x）≥0，即2x-

2a

1-x

≥0⇒a≤[x（1-x）]_min⇒a≤-2，
若f'（x）≤0，即2x-

2a

1-x

≤0⇒a≥[x(1-x)]max⇒a≥

1

4

，
所以a≤-2或a≥

1

4

．
（3）證明：由（n+1）a_n+1=na_n，用累乘法得an=

1

n

，
由（1）知當x∈（0，1）時g'（x）＜0又g（0）=0，得g（x）=ln（1-x）+x＜g（0）=0，得x＜-ln（1-x）*n≥2⇒

1

n

∈(0，1)，x=

1

n

代入*得

1

n

＜ln

n

n-1

Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜1+ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=1+ln(

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

)=1+lnn，
所以當n≥2時，S_n＜1+lnn．…（14分）

點評：本題考查了應用導數求極值，單調區間，以及導數和數列的綜合應用．